Theory of ratios in Nicomachus' Arithmetica and series of arithmetical problems in Pachymeres' Quadrivium: Reflections about a possible relationship

¹ University of Athens, Department of History and Philosophy of Science, Athens, Greece
² Corresponding member of Centre Alexandre Koyré, Paris, France

^a e-mail: amegremi@phs.uoa.gr
^b e-mail: ichrist@phs.uoa.gr

Abstract

The voluminous Treatise of the four mathematical sciences of Georgios Pachymeres is the most renowned quadrivium produced in Byzantium. Among its specific features, historians of mathematics have pointed out, is the inclusion of Diophantus, besides Nicomachus and Euclid, in the sources for the arithmetical section and, accordingly, the incorporation of series of problems and problem-solving in its contents. The present paper investigates the “Diophantine portion” of Pachymeres' treatise and it shows that it is structured according to two criteria intrinsically characterized by seriality: on one hand, the arrangement in which the problems are presented in book I of Diophantus' Arithmetica; on the other hand, for those problems of which the enunciation involves ratio, the order in which Nicomachus discusses the kinds of ratios in his Arithmetical introduction. Furthermore, it analyses the solutions that Pachymeres offers and argues that Nicomachus' Arithmetical introduction provides the necessary tools for pursuing them.

Résumé

Le volumineux Traité des quatre sciences mathématiques de Georgios Pachymère est le quadrivium plus connu produit à Byzance. Les historiens des mathématiques ont déjà remarqué que Pachymère s'est basé pour la section concernant l'arithmétique non seulement sur Nicomaque et Euclide, mais aussi sur Diophante, en incorporant ainsi une série de problèmes avec ses solutions. Le présent article examine la « partie diophantienne » du traité de Pachymère et il montre que cette partie est structurée selon deux critères intrinsèquement caractérisés par la sérialité : d'un côté, l'arrangement selon lequel les problèmes sont présentés dans le premier livre des Arithmétiques de Diophante ; de l'autre côté, pour les problèmes dont l'énoncé implique un rapport, l'ordre dans lequel Nicomaque traite dans son Introduction arithmétique les types de rapports. En outre, l'article analyse les solutions proposées par Pachymère et il suggère que le traité de Nicomaque fournit les outils nécessaires pour les réaliser.